Formules de trigonométrie

(actualisé le ) par Carl Mambourg

Si la figure dynamique n’apparaît pas, il se peut que Java ne soit
pas installé sur votre ordinateur. (Installer Java)

Titre - GeoGebra Feuille de travail dynamique

On considère un triangle ABC rectangle en B
ainsi que la mesure de l’angle BÂC.
Vous pouvez modifiez la position des points A, B et C.
Le déplacement du point C modifiera la mesure de l’angle BÂC.

Rappels : En utilisant le moyen mnémotechnique SOHCAHTOA, on retrouve les 3 définitions suivantes :
Soit x un angle aigu :

  • Sin (x) = \frac{longueur\,du\,c\hat{o}t\acute{e}\,Oppos\acute{e}\,\grave{a}\,x}{longueur\,de\,l’Hypot\acute{e}nuse}
  •  Cos (x) = \frac{longueur\,du\,c\hat{o}t\acute{e}\,Adjacent\,\grave{a}\,x}{longueur\,de\,l’Hypot\acute{e}nuse}
  •  Tan (x) = \frac{longueur\,du\,c\hat{o}t\acute{e}\,Oppos\acute{e}\,\grave{a}\,x}{longueur\,du\,c\hat{o}t\acute{e}\,Adjacent\,\grave{a}\,x}

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Exercices :

1) Modifiez la position des points A, B et C.
Observez la valeur de (cos BÂC)²+(sin BÂC)².
Que remarquez-vous ?

2) Démontrez le résultat de la question 1.

Je vous donne des indications sur la marche à suivre :

  • On part de (cos BÂC)²+(sin BÂC)² .
  • Remplacez cos BÂC et sin BÂC par des rapports de longueurs (voir le rappel) (sans oublier les parenthèses)
  • Enlever les parenthèses, en élevant chaque numérateur et chaque dénominateur au carré.
  • Pour additionner 2 nombres en écriture fractionnaire qui ont le même dénominateur,
    on garde le dénominateur commun et on additionne les numérateurs.
  • Appliquez le théorème de Pythagore dans le triangle ABC.
  • Remplacez le numérateur en utilisant le résultat de l’étape précédente.
  • Il reste une petite étape et c’est fini (Ensuite, vous pourrez alors écrire C.Q.F.D. :-) )

3) Modifiez la position des points A, B et C.
Observez les valeurs de \frac{sin\widehat{BAC}}{cos\widehat{BAC}} ainsi que tan BÂC.
Que remarquez-vous ?

4) Démontrez le résultat de la question 3.

Je vous donne des indications sur la marche à suivre :

  • On part de \frac{sin\widehat{BAC}}{cos\widehat{BAC}}
  • Remplacez cos BÂC et sin BÂC par des rapports de longueurs (voir le rappel)
  • Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse
  • Simplifiez au maximum
  • Il reste une petite étape et c’est fini (Ensuite, vous pourrez encore écrire C.Q.F.D :-) )

5) Q.C.M


:->